データ分析や機械学習において、データに対して多項式をフィッティングする作業は頻繁に発生します。numpyには多項式フィッティングを行う複数の方法がありますが、どれを使うべきか迷う方も多いでしょう。
この記事では、numpyを使った多項式フィッティングの最適な方法を解説します。numpy.polynomialモジュールとnumpy.polyfitの違いを理解し、実際のコード例を通して使い方をマスターできます。特に、numpy 1.4以降で推奨されているnumpy.polynomialモジュールの活用方法を中心に、基本的なフィッティングから重み付きフィッティングまで幅広くカバーします。
結論
- numpy.polynomialモジュールを使用することを推奨
- numpy.polyfitは1.4以降非推奨
- numpy.polynomialの方が数値的に安定で機能が豊富
numpy.polynomialモジュールの使い方
numpy.polynomialモジュールは新しい多項式フィッティング機能を提供します。
基本的な構文
from numpy.polynomial import Polynomial
Polynomial.fit(x, y, deg, domain=None, rcond=None, full=False, w=None, window=None, symbol='x')パラメータ
| パラメータ | 型 | 説明 | デフォルト値 |
|---|---|---|---|
| x | array_like | 独立変数の配列 | 必須 |
| y | array_like | 従属変数の配列 | 必須 |
| deg | int | 多項式の次数 | 必須 |
| domain | array_like | 返される系列のドメイン | None |
| rcond | float | 最小二乗法の条件数 | None |
| full | bool | 詳細な情報を返すかどうか | False |
| w | array_like | 重み配列 | None |
| window | array_like | 返される系列のウィンドウ | None |
| symbol | str | 独立変数を表すシンボル | ‘x’ |
基本的な多項式フィッティング
以下のコードは、サンプルデータに対して2次多項式をフィッティングする例です。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.polynomial import Polynomial
# Sample data
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2.1, 3.9, 9.1, 16.2, 25.0])
# Fit polynomial of degree 2
p = Polynomial.fit(x, y, 2)
# Generate points for plotting
x_plot = np.linspace(1, 5, 100)
y_plot = p(x_plot)
# Plot
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(x, y, color='red', label='Data points')
plt.plot(x_plot, y_plot, 'b-', label='Fitted polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
# Print coefficients
print(f"Coefficients: {p.coef}")
# Output: Coefficients: [ 8.98857143 11.62 4.54285714]
高次多項式フィッティング
3次以上の高次多項式をフィッティングする場合の例です。
import numpy as np
from numpy.polynomial import Polynomial
# Sample data with more complex pattern
x = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6])
y = np.array([1, 2, 5, 10, 17, 26, 37])
# Fit polynomial of degree 3
p3 = Polynomial.fit(x, y, 3)
# Evaluate at specific points
result = p3([2.5, 3.5])
print(f"Values at x=2.5, 3.5: {result}")
# Output: Values at x=2.5, 3.5: [ 7.25 13.25]
# Get derivative
derivative = p3.deriv()
print(f"Derivative coefficients: {derivative.coef}")
# Output: Derivative coefficients: [ 6.00000000e+00 6.00000000e+00 -2.79241508e-15]重み付きフィッティング
データポイントに重みを付けてフィッティングする方法です。
import numpy as np
from numpy.polynomial import Polynomial
# Sample data
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2.1, 3.9, 9.1, 16.2, 25.0])
weights = np.array([1, 1, 2, 1, 1]) # Higher weight for third point
# Weighted fitting
p_weighted = Polynomial.fit(x, y, 2, w=weights)
print(f"Weighted coefficients: {p_weighted.coef}")
# Output: Weighted coefficients: [ 9.05465116 11.62 4.46511628]numpy.polyfitの使い方（非推奨）
numpy.polyfitは従来の多項式フィッティング関数ですが、numpy 1.4以降では非推奨となっています。
なぜnumpy.polyfitが非推奨なのか
numpy.polyfitが非推奨となった主な理由は以下の通りです。
- 数値的安定性の問題: 高次多項式や条件数の悪いデータに対して数値的に不安定になりやすい
- 機能の制限: numpy.polynomialモジュールと比較して利用できる機能が限定的
- ドメイン正規化の欠如: データの範囲を正規化せずに計算するため、数値誤差が蓄積しやすい
- オブジェクト指向設計の不足: 多項式を扱うためのメソッドが不十分で、操作が煩雑
- 将来的なサポート: numpy開発チームがnumpy.polynomialモジュールに注力しており、polyfitの改善は期待できない
これらの理由から、新しいプロジェクトではnumpy.polynomialモジュールの使用を強く推奨します。
基本的な構文
numpy.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False)パラメータ
| パラメータ | 型 | 説明 | デフォルト値 |
|---|---|---|---|
| x | array_like | 独立変数の配列 | 必須 |
| y | array_like | 従属変数の配列 | 必須 |
| deg | int | 多項式の次数 | 必須 |
| rcond | float | 最小二乗法の条件数 | None |
| full | bool | 詳細な情報を返すかどうか | False |
| w | array_like | 重み配列 | None |
| cov | bool | 共分散行列を返すかどうか | False |
基本的な使用例
以下のコードはnumpy.polyfitの基本的な使用方法を示しています。
import numpy as np
# Sample data
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2.1, 3.9, 9.1, 16.2, 25.0])
# Fit polynomial of degree 2
coeffs = np.polyfit(x, y, 2)
# Create polynomial function
p = np.poly1d(coeffs)
# Evaluate at specific points
result = p([2.5, 3.5])
print(f"Values at x=2.5, 3.5: {result}")
# Output: Values at x=2.5, 3.5: [ 6.3675 12.1775]
print(f"Coefficients: {coeffs}")
# Output: Coefficients: [ 1.13571429 -1.00428571 1.78 ]まとめ
numpyで多項式フィッティングを行う場合は、numpy.polynomialモジュールを使用することを強く推奨します。numpy.polyfitは1.4以降非推奨となっており、数値的安定性や機能面でnumpy.polynomialが優れています。
本記事で解説した内容をまとめると以下の通りです。
- numpy.polynomial.Polynomial.fit(): 推奨される多項式フィッティング方法
- 基本的なフィッティング: サンプルデータに対する2次多項式の適用
- 高次多項式フィッティング: 3次以上の複雑なパターンへの対応
- 重み付きフィッティング: データポイントに重みを付けた精度向上
- numpy.polyfit: 従来の方法だが現在は非推奨
データ分析や機械学習プロジェクトで多項式フィッティングが必要になった際は、numpy.polynomialモジュールを活用して数値的に安定した結果を得ることができます。特に重み付きフィッティングは、データの信頼性に差がある場合に有用な手法です。
